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考試科目名稱：數學分析
考試科目代碼：609
考試形式：筆試
考試時間：180分鐘
滿分：150分
參考書目：《數學分析》(上、下)(第五版)，華東師范大學數學科學學院編，高等教育出版社，2019年。
一、試卷結構：
1、計算題，共6--7小題，共70分;
2、證明題、論述題，共5—6題，共80分。
二、考試范圍：
(1)考查知識點
(一) 實數集與函數
1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;
2、數集、確界原理：區間與鄰域，有界集與無界集，上、下確界，確界原理;
3、函數概念：函數的定義，函數的表示法，分段函數;
4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。
(二) 數列極限
1、數列極限概念;
2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性;
3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。
(三) 函數極限
1、函數極限的概念;
2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性;
3、函數極限存在的條件：歸結原則，柯西準則;
4、兩個重要極限;
5、無窮小量與無窮大量。
(四) 函數的連續性
1、連續性概念：函數在一點的連續性，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及其分類;
2、連續函數的性質：局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性)，反函數的連續性，一致連續性;
3、初等函數的連續性。
(五)導數與微分
1、導數概念：導數的定義、導函數、導數的幾何意義;
2、求導法則：導數的四則運算、反函數的求導法則、復合函數的求導法則、基本求導法則與公式;
3、參變量函數的導數;
4、高階導數;
5、微分：微分的概念、微分的運算法則、高階微分、微分的應用。
(六)微分中值定理及其應用
1、拉格朗日定理和函數的單調性：羅爾定理、拉格朗日定理、單調函數;
2、柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理、不定式極限、洛必達法則;
3、泰勒公式;
4、函數的極值與最大(小)值;
5、函數的凸性與拐點;
6、函數圖像的討論;
7、方程的近似解。
(七)實數的完備性
1、關于實數完備性的基本定理：閉區間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理、實數完備性基本定理之間的等價性;
2、上極限和下極限。
(八)不定積分
1、不定積分概念與基本積分公式;
2、換元積分法與分部積分法;
3、有理函數和可化為有理函數的不定積分。
(九)定積分
1、定積分的概念：概念的引入、函數可積的必要條件;
2、牛頓-萊布尼茲公式;
3、可積條件：可積的必要條件和充要條件、可積函數類;
4、定積分的性質：定積分的基本性質、積分中值定理;
5、微積分學基本定理·定積分計算(續)：變限積分與原函數的存在性、換元積分與分部積分、泰勒公式的積分型余項;
6、可積性理論補敘：上和與下和的性質、可積的充要條件。
(十)定積分的應用
1、平面圖形的面積;
2、由平行截面面積求體積;
3、平面曲線的弧長與曲率;
4、旋轉曲面的面積;
5、定積分在物理中的某些應用;
6、定積分的近似計算。
(十一)反常積分
1、反常積分的概念;
2、無窮積分的性質與斂散判別;
3、瑕積分的性質與斂散判別。
(十二)數項級數
1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質;
2、正項級數：正項級數斂散性的一般判別原則，比式判別法和根式判別法，積分判別法，拉貝判別法;
3、一般項級數：交錯級數，絕對收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
(十三)函數列與函數項級數
1、一致收斂性;
2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質。
(十四)冪級數
1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質;
2、函數的冪級數展開：泰勒級數、初等函數的冪級數展開式;
3、復變量的指數函數、歐拉公式。
(十五)傅里葉級數
1、傅里葉級數：三角級數、正交函數系、傅里葉級數、收斂定理;
2、以2L為周期的函數的展開式;
3、收斂定理的證明。
(十六)多元函數的極限與連續
1、平面點集與多元函數的概念;
2、二元函數的極限：二元函數的極限、累次極限;
3、二元函數的連續性：概念、有界閉域上連續函數的性質。
(十七)多元函數微分學
1、可微性：可微性與全微分，偏導數，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性;全微分概念;連續性與可微性，偏導數與可微性;可微性幾何意義及應用;
2、復合函數微分法及求導公式;
3、方向導數與梯度;
4、泰勒定理與極值定理。
(十八)隱函數定理及其應用
1、隱函數：隱函數的概念，隱函數存在性條件的分析，隱函數定理，隱函數求導舉例;
2、隱函數組：概念，隱函數組定理，反函數組與坐標變換;
3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線;
4、條件極值。
(十九)含參量積分
1、含參量正常積分;
2、含參量反常積分：一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量反常積分的性質;
3、歐拉積分。
(二十)曲線積分
1、第一型曲線積分：定義和計算;
2、第二型曲線積分：定義和計算、兩類曲線積分的聯系。
(二十一) 重積分
1、二重積分的概念：平面圖形的面積、二重積分的定義及其存在性、二重積分的性質;
2、直角坐標系下二重積分的計算;
3、格林公式，曲線積分與路線的無關性;
4、二重積分的變量變換，極坐標計算二重積分;
5、三重積分：化三重積分為累次積分，換元法(一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換);
6、重積分的應用。
(二十二)曲面積分
1、第一型曲面積分的概念和計算;
2、第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯系;
3、高斯公式與斯托克斯公式。
(二十三)向量函數微分學
1、n維歐氏空間與向量函數;
2、向量函數的微分;
3、反函數定理和隱函數定理。
(2)考查重點
(一) 實數集與函數
實數的性質，上、下確界，確界原理。
(二) 數列極限
極限概念，收斂數列的性質，數列極限存在的條件。
(三) 函數極限
函數極限的概念，函數極限的性質，函數極限存在的條件，兩個重要極限。
(四) 函數連續
函數連續的概念，連續函數的性質。
(五)導數與微分
導數概念，求導法則，微分的定義，微分的運算法則。
(六)微分中值定理及其應用
中值定理，不定式極限與洛必達法則，函數的極值、最值，函數凹凸性與拐點。
(七)實數完備性定理
有界性定理、最大(小)值性定理、介值定理的、一致連續性定理。
(八)不定積分
不定積分概念與基本積分公式，換元積分法與分部積分法。
(九)定積分
定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，定積分的性質。
(十)定積分的應用
平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積。
(十一)反常積分
反常積分的概念，無窮積分的性質與收斂準則，瑕積分的性質與收斂準則。
(十二)數項級數
級數的斂散性，正項級數判別法，交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質。
(十三)函數列與函數項級數
一致收斂性及一致收斂判別法，一致收斂的函數列與函數項級數的性質。
(十四) 冪級數
收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質，函數的冪級數展開與泰勒定理。
(十五)傅里葉級數
三角級數與正交函數系，傅里葉級數。
(十六)多元函數的極限與連續
二元函數的極限，二元函數的連續性概念。
(十七)多元函數微分學
偏導數的概念，偏導數與連續性，全微分概念，連續性與可微性，偏導數與可微性，多元復合函數微分法及求導公式。
(十八)隱函數定理及其應用
隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導，條件極值。
(十九)含參量積分
含參量正常積分，含參量反常積分斂散性及其性質。
(二十)曲線積分
第一型曲線積分的定義和計算，第二型曲線積分的定義和計算，兩類曲線積分的聯系。
(二十一) 重積分
二重積分的定義及其存在性，二重積分的性質，直角坐標系下二重積分的計算，格林公式，極坐標計算二重積分，化三重積分為累次積分。
(二十二)曲面積分
第一型曲面積分的概念和計算，第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯系，高斯公式與斯托克斯公式。
(二十三)向量函數微分學
n維歐氏空間與向量函數。
原標題：南昌航空大學2025年研究生入學考試自命題考試大綱
文章來源：https://yjs.nchu.edu.cn/zsgz/tzgg0__xwdt/tzgg4/zsgg/content_174134
