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617數學分析
一、考試性質
數學分析是數學碩士研究生入學初試考試的專業基礎課程。
二、考查目標
根據教育部頒發的《數學分析》教學大綱的基本要求，力求反映與數學相關的碩士學位的特點，客觀、準確、真實地測評考生對數學分析的掌握和運用情況，為國家培養具有良好數學基礎素質和應用能力、具有較強分析問題與解決問題能力的高層次、復合型的數學專業人才。
測試考生對一元函數微積分學、多元函數微積分學、級數理論等知識掌握的程度和運用能力。要求考生系統地理解數學分析的基本概念和基本理論;掌握數學分析的基本論證方法和常用結論;具備較熟練的演算技能和較強的邏輯推理能力及初步的應用能力。
三、考試形式
本考試為閉卷考試，滿分為150分，考試時間為180分鐘。
試卷結構：一元函數微積分學、多元函數微積分學、級數理論及其他(隱函數理論、場論等)考核的比例均約為1/3，分值均約為50分。
四、考試內容
(一) 變量與函數
1、實數：實數的概念、性質，區間，鄰域;
2、函數：變量，函數的定義，函數的表示法，幾何特征(有界函數、單調函數、奇偶函數、周期函數)，運算(四則運算、復合函數、反函數)，基本初等函數，初等函數。
(二) 極限與連續
1、數列極限：定義((-N語言)，性質(唯一性，有界性，保號性，不等式性、迫斂性)，數列極限的運算，數列極限存在的條件(單調有界準則(重要的數列極限)，迫斂性法則，柯西收斂準則);
2、無窮小量與無窮大量：定義，性質，運算，階的比較;
3、函數極限：概念(在一點的極限，單側極限，在無限遠處的極限，函數值趨于無窮大的情形((-(, (-X語言));性質(唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性);函數極限存在的條件(迫斂性法則，歸結原則(Heine定理)，柯西收斂準則);運算;
4、兩個常用不等式和兩個重要函數極限(，);
5、連續函數：概念(在一點連續，單側連續，在區間連續)，不連續點及其分類;連續函數的性質與運算(局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質(有界性、最值性、零點存在性，介值性、一致連續性)，復合函數的連續性，反函數的連續性);初等函數的連續性。
(三)實數的基本定理及閉區間上連續函數性質的證明
1、概念：子列，上、下確界，區間套，區間覆蓋;
2、關于實數的基本定理：六個等價定理(確界存在定理、單調有界定理、區間套定理、致密性定理、柯西收斂原理、有限覆蓋定理);
3、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明，最值性定理的證明，零點存在定理的證明，反函數連續性定理的證明;一致連續性定理的證明。
(四)導數與微分
1、導數：來源背景，定義(在一點導數的定義、單側導數、導函數)，導數的幾何意義，簡單函數的導數(常數、正弦函數、對數函數、冪函數)，求導法則(四則運算，反函數的求導法則，復合函數的求導法則，隱函數的求導法則，參數方程所表示函數的求導法則);
2、微分：定義，運算法則，簡單應用;
3、高階導數與高階微分：定義，運算法則。
(五)微分學基本定理及導數的應用
1、中值定理：費馬(Fermat)定理，中值定理(羅爾(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理);
2、泰勒公式及應用(近似計算，誤差估計);
3、導數的應用：函數的單調性、極值和最值，函數凸性與拐點，平面曲線的曲率，七種待定型與洛必達(L’Hospital)法則;
(六)不定積分
1、不定積分:概念，基本公式，運算法則，計算(換元積分法、分部積分法、有理函數積分法，其他類型積分)。
(七)定積分
1、定積分：來源背景，概念，函數可積的必要條件，達布上、下和，定積分存在的充要條件，可積函數類(閉區間上的連續函數，分段連續函數，單調有界函數)，定積分的性質，定積分的計算(基本公式、換元公式、分部積分公式);
2、變上限定積分：定義，性質。
(八)定積分的應用
1、定積分在幾何上的應用：平面圖形的面積，曲線的弧長，截面已知的立體體積，旋轉體的體積，旋轉曲面的面積;
2、定積分在物理上的應用：功、壓力、引力;
3、微元法。
(九)數項級數
1、預備知識：上、下極限;
2、級數的斂散性：無窮級數收斂、發散等概念，柯西收斂原理，收斂級數的基本性質;
3、正項級數：定義，斂散判別(基本定理，比較判別法，柯西判別法，達朗貝爾判別法，柯西積分判別法);
4、任意項級數：絕對收斂級數與條件收斂級數的概念和性質，交錯級數與萊布尼茲判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法。
(十)反常積分
1、反常積分：無窮限的反常積分的概念、性質，斂散判別法(柯西收斂原理，比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法);無界函數的反常積分的概念、性質，斂散判別法。
(十一)函數項級數、冪級數
1、函數項級數的一致收斂性：函數項級數以及函數列的概念，函數項級數以及函數列一致收斂的概念，一致收斂判別法(柯西收斂原理，優級數判別法，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法);一致收斂的函數列與函數項級數的性質(連續性，可積性，可微性);
2、冪級數：阿貝爾第一、第二定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質(連續性，可積性，可微性)，泰勒(Taylor)級數與幾種常見的初等函數的冪級數展開。
(十二)傅里葉級數
1、傅里葉級數：引進，三角函數系的正交性, 傅里葉系數與傅里葉級數，以為周期的函數的傅里葉級數展開，以()為周期的函數的傅里葉級數展開，奇偶函數的傅里葉級數展開，傅里葉級數收斂定理的證明。
(十三)多元函數的極限與連續
1、平面點集：鄰域，點列的極限，開集，閉集，區域，平面點集的幾個基本定理;
2、二元函數：概念，二重極限和二次極限，連續性(連續的概念、連續函數的局部性質及有界閉區域上連續函數的整體性質)。
(十四)偏導數和全微分
1、偏導數和全微分：偏導數的概念，幾何意義;全微分的概念;二元函數的連續性、可微性，偏導存在的關系;復合函數微分法(鏈式法則);由方程組所確定的函數(隱函數)的求導法;
2、偏導數的應用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線;方向導數與梯度;泰勒公式。
(十五)極值和條件極值
1、極值：概念，判別(必要條件、充分條件)，應用，最小二乘法;
2、條件極值：概念，拉格朗日乘數法，應用。
(十六)隱函數存在定理
1、隱函數：概念，存在定理;
2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式。
(十七)含參變量積分與含參變量廣義積分
1、含參變量的正常積分：定義，性質(連續性、可微性、可積性);
2、含參變量的反常積分：定義，一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法(柯西收斂原理、魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄立克雷判別法)，一致收斂積分的性質(連續性、可微性、可積性);
3、歐拉積分：函數和函數的定義、性質。
(十八)重積分的計算及應用
1、二重積分：二重積分的概念，性質，計算(化二重積分為二次積分，換元法(極坐標變換，一般變換);
2、三重積分：計算(化三重積分為三次積分, 換元法(一般變換，柱面坐標變換，球面坐標變換));
3、重積分的應用：立體體積，曲面的面積，物體的質心，矩，引力，轉動慣量;
(十九)曲線積分與曲面積分
1、曲線積分：第一型曲線積分及第二型曲線積分的來源背景、概念、性質、應用與計算，兩類曲線積分的聯系;
2、曲面積分：第一型曲面積分及第二型曲面積分的來源背景、概念、性質、應用與計算，兩類曲面積分的聯系。
(二十)各種積分間的聯系和場論初步
1、各種積分間的聯系公式：格林(Green)公式，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式;
2、曲線積分與路徑無關性：四個等價條件。
3、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度，保守場，哈密頓算子(算子)。
五、是否需使用計算器
否。
原標題：中國海洋大學2025年碩士招生自命題科目考試大綱（預公布版）
文章來源：http://yz.ouc.edu.cn/2024/0719/c5926a480301/page.htm
