科目名稱及代碼 高等代數(818)

所在學院(部) 數學與計算科學學院

學位授權點 數學(0701)

一、基本要求

《高等代數》是五邑大學數學與計算科學學院招收數學一級學科學術型類別 碩士學位碩士研究生自命題考試科目。

《高等代數》是數學專業的一門重要基礎課程。要求考生比較系統地理解高 等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有 抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決 問題的能力。

通過考核本科目，為培養學生良好的數學素養，打下較扎實的代數學理論基 礎，提高學生的抽象思維的能力和邏輯推理能力，并掌握較系統的代數基礎知識， 為學習后續研究生課程服務。

二、內容范圍

本科目考核的內容范圍有如下 8 個方面：

1. 多項式：數域、一元多項式的定義和運算、多項式的整除性、多項式的 最大公因式、多項式的分解、重因式、多項式函數和多項式的根、復系數和實系 數多項式的因式分解、有理系數多項式。

考試要求: 能運用多項式的概念與基本性質、多項式的整除性、最大公因式 和分解、有理系數多項式等理論知識求解和證明有關問題。

2. 行列式：線性方程組和行列式、排列、n 階行列式、n 階行列式的性質、 行列式的計算、余子式和代數余子式、行列式的展開、克拉默法則。

考試要求: 能運用行列式性質、展開定理和克拉默法則計算和證明有關問題。

3.線性方程組：消元法、向量空間、線性相關性、矩陣的秩、線性方程組 可解的判別法、線性方程組解的結構。

考試要求: 能運用消元法、矩陣的秩、線性方程組可解的判別法求解和證明 有關問題

4. 矩陣：矩陣概念的一些背景、矩陣的運算、矩陣乘積的行列式與秩、矩 陣的逆、矩陣的分塊、初等矩陣、分塊乘法的初等變換及應用。

考試要求: 能運用矩陣的運算、可逆矩陣、矩陣乘積的行列式、矩陣的分塊 計算和證明有關問題。

5. 二次型：二次型及其矩陣表示、標準形、唯一性、正定二次型。掌握和 理解二次型及其矩陣表示、標準形、唯一性、正定二次型。

考試要求: 能運用二次型和對稱矩陣、復數域和實數域上的二次型、正定二 次型求解和證明有關問題。

6.線性空間：集合映射、線性空間的定義與簡單性質、維數、基與坐標、 基變換與坐標變換、線性子空間、子空間的交與和、子空間的直和、線性空間的 同構。

考試要求: 能運用線性空間的定義、子空間、向量的線性相關性、基和維數、 坐標、向量空間的同構、矩陣的秩、齊次線性方程組的解空間求解和證明計有關 問題。

7. 線性變換：線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣、特征 值與特征向量、對角矩陣、線性變換的值域與核、不變子空間。

考試要求: 能運用線性映射、線性變換的運算、線性變換和矩陣、不變子空 間、特征值和特征向量、可以對角化的矩陣求解和證明有關問題

8.歐幾里得空間：定義與基本性質、標準正交基、同構、正交變換、子空 間、實對稱矩陣的標準形、向量到子空間的距離、最小二乘法、酉空間介紹。掌 握和理解歐氏空間的定義與基本性質、標準正交基、正交變換、實對稱矩陣的標 準形、向量到子空間的距離、最小二乘法。

考試要求: 能運用向量的內積、正交基、正交變換、對稱變換和對稱矩陣求 解和證明有關問題。

三、題型結構

試卷滿分共 150 分，主要題型結構如下：

1.計算題(約占 60%)

題目樣例：已知對稱矩陣 A, 求一個正交矩陣U, 使得UTAU 是對角形矩陣.

2.證明題(約占 40%)

題目樣例：設 A 是線性空間V 上的線性變換，如果 Ak 一1ξ ≠ 0 ，但是 Akξ = 0 ，其中

ξ ∈ V, k > 0 ，證明： ξ, Aξ, … , Ak 一1ξ線性無關.

四、相關書目

[1] 王萼芳，石生明. 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，《高等代 數》(第五版)，北京: 高等教育出版社, 2019.

[2] 丘維聲.《高等代數(上冊)》. 北京: 清華大學出版社, 2019.

[3] 丘維聲.《高等代數(下冊)》. 北京: 清華大學出版社, 2019.

五、其他說明

本科目考試形式為閉卷，時間 180 分鐘，不需要計算器。