第一部分 目標與基本要求
一、目標
“數學專業基礎綜合”科目包括常微分方程和數值分析兩門課程，這兩門課程是基礎數學、應用數學、計算數學和數理統計學的重要基礎課程。通過這兩門課程的學習，學生能系統地掌握有關常微分方程的基本理論、求解常微分方程的常用方法、數值分析中的經典算法及其分析與應用，并為后繼各數學分支的深入研究打下堅實的基礎。
二、基本要求
“數學專業基礎綜合”課目考試的主要內容為常微分方程的基本理論及各類常微分方程的求解方法、數值分析的基本理論、非線性方程（組）與線性代數方程組的數值方法、數值微分與數值積分及特征值的數值方法等。同時要求考生了解常微分方程的穩定性理論，掌握矩陣分析基礎，熟練分析經典算法的穩定性或收斂性，熟悉經典算法的設計及其應用。
第二部分 具體內容
一、常微分方程部分：
1、初等積分法
(1) 了解常微分方程產生的背景、它與數學分析和高等代數課程之間的關系，了解線性方程和非線性方程的判別；
(2) 了解變量分離方程、齊次方程相關概念；
(3) 了解一階線性方程的相關定義，如齊次方程、非齊次方程、齊次項和非齊次項等，了解Bernoulli方程的概念；
(4) 了解全微分方程、積分因子的概念；
(5) 了解一階隱式方程的定義、一階隱式方程的四種類型、高階方程的定義;
(6) 理解常微分方程相關概念：常微分方程、解、特解、通解，初始條件、積分曲線等；
(7) 理解初等積分法的內涵，即利用不定積分求微分方程的解；理解微分形式的變量分離方程；
(8) 理解Bernoulli方程的解法、一階線性方程初始問題的求解公式；
(9) 理解全微分方程求解思想，即利用二元函數微分理論，求二元函數微分的原函數；理解積分因子的不唯一性；
(10) 理解一階隱式方程與顯式方程的不同之處、一階隱式方程的求解難點、高階方程的求解難點;
(11) 掌握變量分離方程的解法；
(12) 掌握一階線性齊次方程的解法、常數變易法、一階線性非齊次方程的解法；
(13) 掌握全微分方程的解法、全微分方程的判斷、特殊積分因子的求法；
(14) 掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法、高階方程的降階法(不顯含自變量的高階方程, 恰當導數方程)。
2、基本定理
(1) 了解解的存在與唯一性定理的條件和結論、解的存在區間、Picard逐步逼近法等概念；
(2) 了解局部Lipschitz條件的概念、函數是否滿足局部Lipschitz條件的驗證、局部Lipschitz條件在解的延展過程中的作用、解對初值的連續依賴性和可微性；
(3) 理解全局Lipschitz條件的概念、函數是否滿足Lipschitz條件的驗證、Lipschitz條件在存在唯一性定理證明中的作用；
(4) 理解飽和解、最大存在區間的概念、解的延展過程、飽和解的存在區間與解的漸近關系；
(5) 掌握解的存在與唯一性定理的證明、Picard解序列的構造及收斂性的證明，會用Picard逐步逼近法求近似解；
(6) 掌握比較原理和解的延展定理及其證明、初值對解的存在區間的影響。
3、一階線性微分方程組
(1) 了解線性微分方程組的有關概念(系數矩陣、向量值函數、方程組的初始問題)、方程組解的存在唯一性定理及證明思路；
(2) 了解常系數線性微分方程組的系數矩陣的特征方程、特征根、特征向量，了解特征根、特征向量與解的關系；
(3) 理解向量值函數線性相關、線性無關的概念，理解Wronsky行列式的概念、基本解組的概念、基本解的Wronsky行列式的性質、Liouville公式；
(4) 掌握利用系數矩陣的特征根、特征向量求常系數線性微分方程組的基本解組的方法；
(5) 掌握線性（齊次、非齊次）微分方程組解的結構、通解基本定理、常數變易法，掌握向量值函數線性相關、線性無關的判斷；
(6) 掌握常系數線性微分方程組的解法。
4、n階線性微分方程
(1) 了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理、函數組線性相關、線性無關、函數組的Wronsky行列式等概念；
(2) 了解n階常系數線性齊次微分方程的特征方程、特征根；由特征根確定微分方程的解；
(3) 了解非齊次項的概念、利用常數變易法求特解的方法；
(4) 了解質點運動方程的物理意義、振動、無阻尼自由振動、阻尼自由振動、無阻尼強迫振動、阻尼強迫振動等概念；
(5) 了解Laplace變換及其在微分方程初值問題求解問題中的應用；
(6) 理解n階線性微分方程與n維線性方程組之間的關系，即對任意一個n階線性微分方程，可將其化為一個n維線性方程組，且他們的解是等價的；理解基本解組、Liouville公式；
(7) 理解由復特征根如何確定微分方程解的方法；
(8) 理解比較系數法與常數變易法的差異；
(9) 理解微分方程的解與振動之間的聯系，共振概念；
(10) 理解冪級數解法大意；
(11) 掌握函數組線性相關、線性無關的證明方法，n階（齊次、非齊次）線性微分方程的通解結構定理的證明；
(12) 掌握n階常系數線性齊次微分方程的解法；
(13) 掌握第一類型、第二類型n階常系數線性非齊次微分方程的解法；
(14) 掌握通過求二階常系數線性方程的通解探討力學問題中振動現象的方法，理解阻尼項和強迫項對振動的影響；
(15) 掌握相關定理及其在微分方程初值問題求解問題中的應用。
