命題學院：數學與統計學院 考試科目名稱：615分析與代數

科目說明(考試用具要求)：無

一、考試基本要求

考試方法為筆試，考試時間為3個小時?？疾鞂W生對《數學分析》和《高等代數》的基本理論、基本方法和基本技能的掌握程度;考察學生抽象思維、邏輯推理和分析、解決問題的能力。

二、考試內容和考試要求

(一)數列極限、函數極限的定義及性質...方法的證明;數列極限、函數極限的各種計算方法

(二)連續性的定義及性質;連續性、一致連續性的證明及其應用

(三)微分和導數的概念及導數的幾何意義;微分中值定理、Taylor公式、不等式的證明及導數在研究函數中的應用

(四)不定積和定積分的定義;積分中值定理、牛頓-萊布尼茲公式、定積分的計算、證明、應用及積分等式或不等式證明，廣義積分的計算。

(五)數項級數收斂、發散和函數項級數一致收斂的判別法;冪級數的收斂半徑、收斂域、級數和的求法及函數的Taylor展開

(六)平面點集;二元函數極限、連續的定義及計算;多元函數偏導數及全微分的定義、計算及有關的證明

(七)二重積分、三重積分的計算;兩類曲線積分、兩類曲面積分的計算;格林公式、高斯公式的應用

(八) 整除理論：包括整除性、帶余除法、最大公因式、互素的概念與性質;因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解定理、重因式、實系數與復系數多項的因式分解，有理系數多項式不可約的判定;根的理論：包括多項式函數、多項式的根、有理系數多項式的有理根求法

(九)行列式的定義、性質;行列式的按行(列)展開定理;行列式的計算方法;克萊姆法則

(十)線性方程組的解法——消元法;數域P上n維向量空間Pn及向量的線性相關性;線性方程組有解的判別定理;線性方程組解的結構及齊次線性方程組的解空間的討論

(十一)矩陣的運算;初等變換與初等矩陣;可逆矩陣;分塊矩陣;矩陣的秩;矩陣的等價(即相抵)、合同、相似;矩陣的可對角化問題

(十二)線性空間的概念;基、維數與坐標;基變換與坐標變換;子空間、子空間的交與和、維數公式、子空間的直和;線性空間的同構

(十三) 線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;不變子空間

(十四)二次型及其標準型，正定二次型。歐幾里得空間概念，正交基、正交變換、實對稱陣的標準型。

三、考試基本題型和分值

滿分150分，其中：

分析學部分90分，其中選擇題12分，填空題18分，計算題50分，證明題10分;

代數學部分60分，其中計算題50分，證明題10分。

四、參考書目

1.華東師范大學數學系編，數學分析(上、下冊)(第五版)，高等教育出版社，2020年.

2.北京大學數學系幾何與代數教研究前代數小組編，王萼芳、石生明修訂《高等代數》(第五版)，高等教育出版社，2019年.