學院名稱：014 化學與環境科學學院

專業代碼及名稱：077600 環境 科學與工程

科目代碼及名稱：601 高等數學

考試大綱：

1.考試科目

第一部分 高等數學

第二部分 常微分方程初步

2.考試形式和試卷結構

2.1 試卷滿分及考試時間

試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘.

2.2 答卷方式

答題方式為閉卷、筆試.

2.3 答卷內容與結構

高等數學，約 85%

常微分方程初步，約 15%

2.4 試卷題型結構

單項選擇題選題，8 小題，每小題 4 分，共 32 分

填空題，6 小題，每小題 4 分，共 24 分

解答題(包括證明題)，9 小題，共 94 分

3. 第一部分 《高等數學》考試內容與要求

3.1 函數、極限、連續

3.1.1 考試內容

函數的概念及表示法、函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數、基本初等函數的性質及其圖形、初等函數、函數關系的建立。數列極限與函數極限的定義及其性質、函數的左極限和右極限、無窮小量和無窮大量的概念及其關系、無窮小量的性質及無窮小量的比較、極限的四則運算、極限存在的兩個準則(單調有界準則和夾逼準則)、兩個重要極限...

函數連續的概念、函數間斷點的類型、初等函數的連續性、閉區 間上連續函數的性質。

3.1.2 考試要求

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函 數關系。

2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概 念。

4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5.了解數列極限和函數極限(包括左極限與右極限)的概念。

6.了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運 算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

7.理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方 法.了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。

8.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間 斷點的類型。

9.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連 續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應 用這些性質。

3.2 一元函數微分學

3.2.1 考試內容 導數和微分的概念、導數的幾何意義和經濟意義、函數的可導性與連續性之間的關系、平面曲線的切線與法線、導數和微分的四 則運算、基本初等函數的導數、復合函數、反函數和隱函數的微分法、 高階導數、一階微分形式的不變性、微分中值定理、洛必達(L'Hospital)法則、函數單調性的判別、函數的極值、函數圖形的 凹凸性、拐點及漸近線、函數圖形的描繪、函數的最大值與最小值。

3.2.2 考試要求

1.理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系，了解導數的 幾何意義與經濟意義(含邊際與彈性的概念)，會求平面曲線的切線 方程和法線方程。

2.掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合 函數的求導法則，會求分段函數的導數，會求反函數與隱函數的導數。

3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

4.了解微分的概念、導數與微分之間的關系以及一階微分形式 的不變性，會求函數的微分。

5.理解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理， 了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握這四個定 理的簡單應用。

6.會用洛必達法則求極限。

7.掌握函數單調性的判別方法，了解函數極值的概念，掌握函 數極值、最大值和最小值的求法及其應用。

8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區間(a, b) 內，設函 數 f (x) 具有二階導數.當 f ¢(x) > 0 時， f (x) 的圖形是凹的;當 f ¢(x) < 0 時， f (x) 的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點和漸近線。

9.會描述簡單函數的圖形。

3.3 一元函數積分學

3.3.1 考試內容

原函數和不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式、定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、積分上限的函數 及其導數、牛頓-萊布尼茨(Newton- Leibniz)公式、不定積分和定 積分的換元積分法與分部積分法、反常(廣義)積分、定積分的應用。

3.3.2 考試要求

1.理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和 基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。

2.了解定積分的概念和基本性質，了解定積分中值定理，理解 積分上限的函數并會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式以及定積 分的換元積分法和分部積分法。

3.會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數的平均值，會利用定積分求解簡單的經濟應用問題。

4.了解反常積分的概念，會計算反常積分。

3.4 多元函數微積分學

3.4.1 考試內容

多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續的概念、有界閉區域上二元連續函數的性質、多元函數偏導數的 概念與計算、多元復合函數的求導法與隱函數求導法、二階偏導數、 全微分、多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值、二重積分的 概念及其基本性質和計算、三重積分的概念及其基本性質和計算。

3.4.2 考試要求

1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義。

2.了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元 連續函數的性質。

3.了解多元函數偏導數與全微分的概念,會求多元復合函數一 階、二階偏導數，會求全微分,會求多元隱函數的偏導數。

4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存 在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的 極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值 和最小值，并會解決簡單的應用問題。

5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標);了解三重積分的概念及其基本性質和計算， 掌握三重積分的計算方法(直角坐標)。

3.5 無窮級數

3.5.1 考試內容

常數項級數的收斂與發散的概念、收斂級數的和的概念、級數的基本性質與收斂的必要條件、幾何級數與 p 級數及其收斂性、正項級 數收斂性的判別法、任意項級數的絕對收斂與條件收斂、交錯級數與 萊布尼茨定理、冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂 域、冪級數的和函數、冪級數在其收斂區間內的基本性質、簡單冪級 數的和函數的求法、初等函數的冪級數展開式。

3.5.2 考試要求

1.了解級數的收斂與發散、收斂級數的和的概念。

2.了解級數的基本性質及級數收斂的必要條件，掌握幾何級數 及 p 級數的收斂與發散的條件，掌握正項級數收斂性的比較判別法和 比值判別法。

3.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與 收斂的關系，了解交錯級數的萊布尼茨判別法。

4.會求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域。

5.了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、 逐項求導和逐項積分)，會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數...

4.1 考試內容 常微分方程的基本概念、變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、線性微分方程解的性質及解的結構定理、二階常系數齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程、微分方程 的簡單應用。

4.2 考試要求

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2.掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法。

3.會解二階常系數齊次線性微分方程。

4.了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解自由項為 多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數的二階常系數非齊次線性微分方程。

5.會用微分方程求解簡單的應用問題。 參考書目：《高等數學》上下冊(第六版)，同濟大學應用數學系，高等教育出版社，2007