泛函分析 考試大綱
(科目代碼：781)
第一章 度量空間與線性賦范空間
考試要點：
度量空間的概念，例子;度量空間中的收斂性與連續性;稠密性;可分性;Cauchy列與度量空間的完備性;壓縮映像原理及其應用;線性賦范空間的概念，例子;Banach空間的概念。
考試內容：
第一節 度量空間的概念與例子
距離及度量空間的定義;例子(歐氏空間...等)。
第二節 度量空間中的極限 稠密性 可分空間
領域的概念;收斂點列;有界集;具體空間中收斂性的意義;稠密性與可分空間的概念;不可分空間的例子。
第三節 連續映射
映射連續性的各種定義及其等價性。
第四節 Cauchy點列與完備度量空間
度量空間中Cauchy點列的概念;完備度量空間的定義;完備度量空間與不完備度量空間的各類例子;度量空間閉子空間的完備性。
第五節 度量空間的完備化
等距同構;度量空間的完備化定理;
第六節 壓縮映像原理及其應用
壓縮映像的定義;壓縮映像原理;在隱函數定理及常微分方程中的應用。
第七節 線性空間
本節內容為線性空間的基本概念。因學生已在高等代數課程中學過有限維空間的有關內容，故只需簡要回顧并強調無限維線性空間的特征即可。
第八節 線性賦范空間和Banach空間
范數，線性賦范空間和Banach空間的概念;依范數收斂...空間;有限維賦范空間的拓撲同構性。
考核要求：
掌握度量空間，線性賦范空間和Banach空間的概念和性質;掌握映射連續性，度量空間的完備性等概念;熟悉...空間;透徹理解壓縮映像原理及其簡單應用。能獨立解答基本的習題。
第二章 線性有界算子和線性連續泛函
考試要點：
線性有界算子，線性連續泛函，線性算子空間，共軛空間。
考試內容：
第一節 線性有界算子與線性連續泛函
線性有界算子與線性連續泛函的概念，例子，有界與連續的等價性，線性有界算子零空間的性質，算子范數。
第二節 線性算子空間和共軛空間
線性算子空間的結構及其完備性，共軛空間，保距算子，同構映照，同構，一些具體空間的共軛空間。
考核要求：
掌握線性有界算子，線性連續泛函，有界性，連續性，算子范數，共軛空間，保距算子，同構映照，同構等基本概念;掌握有界與連續的等價性定理，基本定理;能夠計算簡單的算子范數和一些具體空間的共軛空間。能獨立解答基本的習題。
第三章 內積空間和Hilbert空間
考試要點：
內積空間，投影定理，Hilbert空間，就范直交系，Hilbert空間上線性連續泛函的表示。
考試內容：
第一節 內積空間的基本概念
內積空間與Hilbert空間的定義，平行四邊形公式，內積空間的判定。
第二節 投影定理
點到集合的距離，凸集，極小化向量定理，集合的正交，Hilbert空間的正交分解，投影算子及其性質。
第三節 Hilbert空間中的就范直交系
就范直交系，Fourier系數集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定義與判定, Fourier展式，Gram-Schmidt正交化過程，Hilbert空間的同構。
第四節 Hilbert空間上的線性連續泛函
