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考試科目：高等代數
考試形式：筆試(閉卷)
考試時間：180分鐘
考試總分：150分
一、總體要求
對高等代數基本概念把握準確，高等代數課程中的基本理論和基本方法，考查綜合運用所學知識解決問題的能力。
二、內容
1. 預備知識
(1) 連加符號與連乘符號;
(2) 數域的基本概念和基本性質;
(3) 集合的笛卡爾積與集合上的等價關系, 基本的代數系統: 群.
2. 矩陣
(1) 矩陣的基本概念, 常見的特殊矩陣;
(2) 矩陣的加法、數乘、轉置、乘法和求逆運算;
(3) 逆矩陣的概念、性質及其若干等價刻畫, 逆矩陣計算的基本原理;
(4) 初等變換與初等矩陣的關系, 消元法求解方程組的方法, 初等變換化矩陣為行簡化階梯形的方法;
(5) 矩陣的常見分塊運算與性質.
3. 行列式
(1) 行列式的遞歸定義, 行列式定義的幾何意義;
(2) 行列式的各種性質;
(3) 行列式的計算;
(4) 行列式展開的拉普拉斯定理;
(5) 伴隨矩陣的概念、性質與計算, 克蘭姆法則求解非齊次線性方程組;
(6) 矩陣秩的概念及其相關性質, 矩陣的相抵標準形, 分塊矩陣初等變換證明矩陣秩等式與不等式.
4. n維向量空間
(1) 數域上n維向量空間中的基本概念;
(2) 向量組的線性組合, 線性表出與線性相關性等基本概念、性質與相關定理;
(3) 向量組的秩與極大無關組的基本概念;
(4) 一般線性方程組解的結構, 線性方程組求解的基本方法.
5.多項式
(1) 多項式的基本概念, 多項式的帶余除法與綜合除法;
(2) 因式、公因式、最大公因式與最小公倍式的概念, 最大公因式的基本性質及其計算;
(3) 數域F上不可約多項式的基本概念、性質與定理;
(4) 實系數與復系數多項式的因式分解定理;
(5) 本原多項式的概念和性質, 有理數域上多項式可約性與整數環上多項式可約性的關系;
(6) 多項式根與系數關系的韋達定理, 有理系數多項式的有理根判別方法, 有理數域上不可約多項式的判別方法.
6. 線性空間
(1) F-空間的各種基本概念, 如線性運算、維數、基與坐標、基變換與子空間;
(2) 子空間的交、和的概念、性質與定理;
(3) 兩個子空間直和的概念, 兩個子空間做成直和的若干等價刻畫, 多個子空間直和的概念與刻畫;
(4) 線性空間同構的概念與性質.
7. 線性變換
(1) 線性映射、線性變換的概念, 性質.
(2) 對給定的線性空間, 經由基底線性變換與矩陣的一一對應以及運算上面的對應. 能運用這種對應關系來轉化問題.
(3) 線性變換的特征值, 特征向量; 矩陣的特征值, 特征向量. 線性變換與矩陣的特征值特征向量之間的聯系. 特征值和特征向量的計算及相關證明.
(4) 線性變換(矩陣)特征值, 特征向量與矩陣能否相似對角化的關系.
(5) 線性變換的值域和核的概念, 不變子空間的概念及其與矩陣化簡的關系.
(6) 對偶空間的定義及性質.
8. Jordan標準形與λ-矩陣
(1) 矩陣最小多項式的概念, 與特征多項式和零化多項式的緊密關聯, 最小多項式與相似對角化的關系.
(2) 冪零與半單線性變換的概念和性質, 中國剩余定理及其計算.
(3) 矩陣的Jordan-Chevalley分解, 循環不變子空間的概念.
(4) λ-矩陣的概念和性質, 相抵標準形的存在唯一性, 相抵標準形的計算, 不變因子組與各階行列式因子的概念與關聯.
(5) λ-矩陣相抵與矩陣相似的關系, 矩陣的有理標準形的概念和計算.
(6) 初等因子組的概念和性質, Jordan標準形的理論、計算及其應用.
9. 歐氏空間
(1) 歐氏空間的定義及性質, 歐氏空間同構的意義和結論, QR分解與LU分解;
(2) 歐氏空間中內積, 長度, 夾角, 在給定基下度量矩陣的概念, Cauchy不等式的證明及應用;
(3) 標準正交基的相關概念和性質, Scmidt正交化方法
(4) 正交變換, 正交矩陣以及標準正交基之間的關系與聯系.
(5) 實對稱矩陣正交對角化的理論, 計算以及應用.
10. 二次型與雙線性函數
(1) 二次型及其矩陣表示, 合同變換與合同矩陣, 二次型的秩等概念
(2) 用配方法化二次型為標準形, 慣性定理, 標準形和規范形, 二次型及其矩陣的正定性判定與計算.
(3) 用正交替換化二次型為標準形的計算.
(4) 雙線性函數的定義, 概念及其性質.
三、題型及分值比例
填空題: (20%)
計算題: (40%)
證明題: (40%)
原標題：電子科技大學2025年碩士研究生招生考試初試科目高等代數參考書目和考試大綱的公告
文章來源：https://www.math.uestc.edu.cn/info/1029/8658.htm
