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一、（20分）已知線性規劃問題
minZ=CTX（這里的CT表示C的轉置）
s.t.AX≥b，X≥0
具有n個極點，其中C，b分別是常數列向量，A為系數矩陣，X為解向量。
證明：該線性規劃問題的最優解必定出現在某極點上。
二、（35分）已知線性規劃問題
MaxZ=c1X1+c2X2+c3X3 s.t.a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2 a31x1+a32x2+a?33x3≤b3
x1, x2, x3≥0
為某企業消耗三種資源可獲三種生產計劃模型。經計算求得如下最終單純性表，其中X4,X5,X6為松弛變量。
| CB | XB | b‘ | c1 | c2 | c3 | 0 | 0 | 0 |
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | |||
| c2 | X2 | 20/3 | 0 | 1 | 5/6 | 5/3 | -1/6 | 0 |
| c1 | X1 | 10/3 | 1 | 0 | 1/6 | -2/3 | 1/6 | 0 |
| 0 | X6 | 10 | 0 | 0 | 4 | -2 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | -8/3 | -10/3 | -2/3 | 0 | |||
問題：（1）推算出原始規劃模型中的未知系數aij,bij,cj(i=1,2,3 ;j=1,2,3)
（2）據調查，第一種資源的原始限量b估計時有誤，正確的估計量為12+6μ，其中μ是待定參數。求μ值的范圍，使已確定的最優生產計劃仍然可行。 е
（3）現在原始模型中添加了X1，X2，X3均為整數的要求，請確定此時的最優生產計劃。
三、（20分）某實驗室擁有一臺高精度超聲診斷儀，每天只能對外來客戶進行一次檢測服務，假設服務及客戶源都是無限的。已知客戶按Poisson流到達，平均每周收到λ次服務申請，儀器檢測時間服從指數分布，每次檢測費P元，客戶每等待一天的損失費為C元。
問題：（1）求使總期望損失最小的檢測服務效率；
（2）在總期望損失最小的服務效率下，如果將服務強度固定為α，則可以利用檢測費與客戶等待損失費的比率對服務申請進行估算。請給出估算公式。
四、（20分）某區域地下排水管網系統如下圖所示，其中節點表示各下水道的入口。圖上所標記已是最大流，各弧所標第一位數表示弧的容量，第二位數表示弧的實際流量，該系統沒有考慮自然降雨量。
問題：現在考慮最大降雨量為10，請畫出此種情況下的網絡圖，并求出相應最大流。
五、（20分）某地區有n個常住居民，需要通過驗血進行某種疾病普查，假設每個人的驗血結果都是獨立的，并且呈陽性的概率為p，呈陰性的概率為q=1-p。為此設計了兩種方案。
甲方案（不分組）：逐人采血、驗血，共需驗血n次。
乙方案（分組）：將n個人分成若干組，每組k個人。驗血方法式將每一組的血液混合在一起，經過一次驗血，如果驗血結果呈陰性，表明該組通過檢驗，無需再驗。反之，如果呈陽性，則需要對該組的血液再逐一檢驗。
問題：（1）請計算并比較甲、乙兩種方案的人均驗血次數。
（2）在已知q的條件下，采用乙方案時，各組中的最佳人數應滿足什么條件。注：下列答題中可能用到的統計單位
Z0.1=1.282;Z0.05=1.645;Z0.025=1.960 ;P{Z≤3.0}=0.99865 ； P{Z≤2.0}=0.97725；P{Z≤1.5}=0.93319 ； P{Z≤-1.5}=0.06681
六、（20分）某種流行的軟飲料灌裝在2000ml的瓶子里銷售。灌裝過程中進入瓶子的飲料呈正態分布，均值是2000ml，標準差是20ml。
問題：（1）灌裝過程中，起裝量大于60ml，溢出的飲料將引發機器故障，計算出此種機器故障發生的概率。
（2）瓶子里少裝30ml及其以上將判為不合格產品，計算不合格產品的概率。
（3）現從一批產品中隨機抽檢100瓶飲料，平均灌裝量1997ml，請問在0.1的顯著性水平下，該批產品是否合格。
七、（15分）某市估計有25萬張交通卡需要經常性退卡，為減少退卡人的抱怨，公交企業需要設置退卡網點。假定每張交通卡的持有人相互獨立，并且同時退卡的可能性是10%。
問題：請計算回答，若以95%的把握保證退卡人不排隊，至少需要多少個退卡點。
