一、考查目標
復變函數論課程的考試目的旨在了解考生對本門課程中的基本概念、方法與理論的掌握程度，為學習相關的專業知識提供必要的理論基礎。
二、考試形式與試卷結構
考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘，其中 5道簡答題（100 分）。
三、考查范圍
（一） 復數與復變函數
復數及其運算、幾何表示；復平面上的點集、區域、曲線、集與集之間的距離，區域的連通性等相關概念；復變函數的極限和連續。
（二）解析函數
解析函數的概念，柯西-黎曼條件，函數可微與解析的充要條件；常見的初等函數：冪函數，根式函數，指數函數，三角函數，反三角函數以及一般冪函數與一般指數函數。
（三）復變函數積分
復變函數積分的定義、基本性質以及復變函數積分的計算；柯西積分定理及其推廣（單連通，復連通）；柯西積分公式及其推論、解析函數的無窮可微性以及一些相關重要定理；調和函數概念，解析函數與調和函數的關系。
（四）解析函數的冪級數表示法
復級數的基本性質；Abel 定理，冪級數的收斂半徑求法，和函數的解析性，Taylor 展開式，解析函數的級數展開舉例；解析函數零點的孤立性，解析函數的唯一性定理，最大模原理。
（五）解析函數的羅朗展式與孤立奇點
羅朗級數與泰勒級數之間的關系，解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式；可去奇點、極點、本性奇點的定義及判別，理解掌握席瓦爾茲引理，畢卡定理，解析函數在無窮遠點鄰域的性質，整函數與亞純函數概念及其簡單性質。
（六）殘數理論及其應用
留數的概念，留數定理，留數的求法以及無窮遠點的殘數；利用留數定理計算四種主要類型實積分；對數留數，掌握輻角原理，儒歇定理及其應用。
（七）保形映射
單葉解析函數的映射性質；分式線性函數及其映射性質：分式線性函數、分式線性函數的映射性質、兩個特殊的分式線性函數；黎曼定理：最大模原理、施瓦茨引理、黎曼定理及邊界對應概念。
參考書目：
[1] 鐘玉泉，《復變函數論》，高等教育出版社，2004 年。
