學院名稱：012 數學科學學院

專業代碼及名稱：070100 數學

科目代碼及名稱：715 高等代數

考試大綱：

考試科目：高等代數

考試形式和試卷內容結構

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘.

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試.

三、試卷題型

計算題(50%)證明題(50%).

四、考試內容及要求

(一)考試內容

1. 多項式理論

多項式的整除關系;多項式的最大公因式性質、求法及證明;多項式的互素關系;多項式的可約性判別;多項式有無重因式的判別;多項式的根理論;與矩陣有關的多項式問題.

2. 行列式

n 階行列式的定義、性質、計算及應用.

3. 矩陣

矩陣的運算(包括矩陣的線性運算、乘積運算、冪運算、轉置運算、逆運算、方陣的行列式運算等);分塊矩陣及其運算;伴隨矩陣、矩陣可逆性的判別及逆矩陣的求法;矩陣的秩(定義、求法、矩陣的秩的等式或不等式的證明);矩陣的初等變換及其應用;矩陣的特征多項式、特征值、相似矩陣、矩陣的對角化;矩陣的分解(包括矩陣的和式分解、乘積分解);特殊矩陣(包括單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、初等矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣、正定矩陣、對合矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣)的性質等.

4. 線性方程組

線性方程組有解的判別;會用 Cramer 法則和初等變換法求解線性方程組;齊次線性方程組的基礎解系、解空間和通解的求法;非齊次線性方程組的解與其導出組的解之間關系.

5. 線性空間與線性變換 線性空間的定義與性質;向量組的線性相關性及其判別;向量組的極大線性無關組的求法;線性空間的基與維數的求法;基變換與坐 標變換及過渡矩陣的求法;子空間的性質、生成及判別;交空間與和 空間的基與維數的求法;子空間直和的證明;線性空間同構的定義、 性質及判別;兩個線性空間之間的同構映射的建立等.

6. 線性變換 線性變換的定義、運算與性質;線性變換與矩陣的關系;線性變換的像空間與核空間的性質及其求法;不變子空間的證明;線性變換 的特征值與特征向量的性質及求法;相似矩陣的性質及判別;線性變 換可以對角化(矩陣可以對角化)的判別;求線性空間的一組基，使 得線性變換關于這組基的矩陣為對角形矩陣等.

7. 歐氏空間與線性變換 歐氏空間中向量的內積、長度、夾角、距離的性質與計算;正交組與標準正交組的性質;施密特正交化過程;歐氏空間同構的判別; 正交變換(正交矩陣)的性質及判別;對稱變換(對稱矩陣)的性質 及判別;子空間的正交補的性質及證明.

8. 二次型 二次型及其矩陣表示;二次型等價(矩陣合同)的性質及判別;二次型的標準形、規范形的求法(包括配方法、合同變換法、正交變 換法);正定二次型(正定矩陣)、負定二次型(負定矩陣)、半正定 二次型(半正定矩陣)、半負定二次型(半負定矩陣)的性質及其判 別等.

(二)考試要求 在熟練掌握高等代數的基本理論、基本方法的基礎上，理解各知識點之間的內在聯系，掌握一定的解題技巧，會運用這些基本知識、 基本方法去分析和解決綜合性的問題。