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考試科目：數學分析
考試代碼：613
考試參考書目：哈爾濱工業大學數學學院，《大學數學—工科數學分析(上、下)》(第7版)，高等教育出版社，2023年
考試總分：150分
考試時間：3小時
一、考試目的與要求
《數學分析》考試大綱適用于統計學專業碩士研究生入學考試，其目的是考察考生對數學分析最基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數學分析的基本概念、基本理論和基本方法，具有較強的抽象能力、邏輯推理能力和運算能力。
通過《數學分析》課程的學習和考試，要求考生：
1. 能夠系統地掌握數學分析的基本概念、基本理論和基本方法，具備獨立獲取數學知識的能力，為進一步學習其他數學專業課程打下堅實基礎;
2. 能夠運用數學分析的理論知識和論證方法進行具體分析問題和解決問題的基本能力。
二、考試的基本內容與要求
第1章 函數
考試內容：
函數的概念及表示法;函數的基本性質;反函數;復合函數。
考試要求：
1、理解函數的概念，掌握函數的表示法;
2、了解函數的有界性、單調性、奇偶性、周期性;
3、理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數的概念;
4、掌握基本初等函數的性質及圖形，了解初等函數的概念。
本章復習重點：
函數的概念及性質。
第2章 極限與連續
考試內容：
數列極限與函數極限的概念及性質;函數左、右極限;無窮小量與無窮大量的概念及關系;無窮小量的比較;極限的四則運算;極限存在的條件：單調有界準則和夾逼準則;兩個重要極限...斷點的類型;初等函數的連續性;閉區間上連續函數的性質。
考試要求：
1.理解極限的概念，理解函數左右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限的關系;
2.了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算;
3.理解無窮小量和無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法;
4.理解函數連續性的概念(含左、右連續)，會判斷函數間斷點的類型;
5.掌握閉區間上連續函數的性質：有界性、最大值和最小值定理、零點存在定理，并會利用這些性質。
本章復習重點：
l 熟練掌握兩個重要極限...掌握無窮小的比較，重點掌握利用等價無窮小替換求函數極限;
l 掌握函數間斷點的類型，熟練掌握函數定義域的求法;
l 掌握閉區間上連續函數的零點定理。
第3章 導數與微分
考試內容：
導數和微分的概念;導數的幾何意義;函數連續與可導之間的關系;導數與微分的四則運算;基本初等函數的導數;復合函數、反函數及隱函數的求導;一階微分形式的不變性;參變量函數的導數;高階導數。
考試要求：
1.理解導數的概念及可導與連續之間的關系，了解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程;
2.掌握基本初等函數的導數公式，導數的四則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數的導數，會求反函數與隱函數的導數;
3.了解微分的概念，了解導數與微分之間的關系及一階微分形式的不變性，會求函數的微分;
4.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數，如冪函數、指數函數及正弦和余弦函數的高階導數。
本章復習重點：
l 熟練掌握復合函數的求導;
l 熟練掌握隱函數求導法。
第4章 微分中值定理與導數的應用
考試內容：
微分中值定理;洛必達法則;函數單調性的判別;函數的極值;函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線;函數圖形的描繪;函數的最大值與最小值。
考試要求：
1.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理;
2.掌握用洛必達法則求未定式極限方法;
3.掌握函數單調性判別法，了解函數極值概念，掌握函數極值、最大值和最小值的求法;
4.會用導數判斷函數圖形的凹凸性..
會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線;
5.會描述函數的圖形。
本章復習重點：
l 熟練掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用;
l 熟練掌握函數的單調性、凹凸性的判別;
l 掌握函數圖形的描述(漸近線)。
第5章 不定積分
考試內容：
原函數與不定積分的概念;不定積分的性質;不定積分的基本積分公式;不定積分的換元法和分部積分法。
考試要求：
1.理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式;
2.掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。
本章復習重點：
l 熟練掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。
第6章 定積分
考試內容：
定積分的概念;牛頓—萊布尼茨公式;積分中值定理;積分上限函數的導數;定積分的換元法和分部積分法;反常積分概念;無窮積分的性質與收斂判別;瑕積分的性質與收斂判別;定積分的應用(如面積、旋轉體的體積等)。
考試要求：
1.了解定積分的概念和基本性質，了解定積分的中值定理;
2.理解積分上限函數并會求它的導數;
3.掌握牛頓—萊布尼茨公式以及定積分的換元法和分部積分法;
4.會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積;
5.了解反常積分的收斂的比較判別法，會計算反常積分。
本章復習重點：
l 掌握牛頓—萊布尼茨公式;
l 熟練掌握定積分的換元法和分部積分法計算定積分;
l 熟練掌握平面圖形的面積。
第7章 微分方程
考試內容：
常微分方程的基本概念;變量可分離的微分方程;齊次微分方程;一階線性微分方程;線性微分方程解的性質及解的結構定理;二階常系數齊次線性微分方程及簡單的常系數非齊次線性微分方程;線性微分方程組及其通解結構;常系數齊次線性微分方程組。
考試要求：
1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念;
2.掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法;
3.掌握線性微分方程解的性質及解的結構;
4.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法;
5.會解自由項(高數里面一般叫非齊次項)為多項式、指數函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。
本章復習重點：
l 熟練掌握可分離變量的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法;
l 熟練掌握自由項常系數非齊次線性微分方程的解法。
第8章 多元函數微分學
考試內容：
多元函數的概念;二元函數的幾何意義;二元函數的極限與連續的概念;有界閉區域上二元連續函數的性質;多元函數偏導數的概念與計算;多元復合函數的求導法二階偏導數;全微分;梯度和方向導數;多元隱函數求導法;多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值;偏導數的幾何應用;空間曲線的切線和法平面;空間曲面的切平面和法線。
考試要求：
1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義;
2.了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質。
3.了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分;
4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值;
5.了解多元函數的梯度，會求多元函數的方向導數。
6.會求空間曲線的切線和法平面，會求空間曲面的切平面和法線;
7.會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。
本章復習重點：
l 熟練掌握復合函數一階、二階偏導數及全微分;
l 熟練掌握求條件極值的拉格朗日乘數法。
第9章 多元函數積分學
考試內容：
二重積分和三重積分的概念及性質;直角坐標系下二、三重積分的計算;極坐標系下二重積分的計算;柱面坐標系下三重積分的計算;球面坐標系下三重積分的計算;第一型曲線積分的概念及計算;第一型曲面積分的概念及計算。
考試要求：
1.了解二重積分和三重積分的概念及性質，會計算直角坐標系下的二重積分，會用極坐標變換計算二重積分，會用柱面坐標、球面坐標變換計算三重積分;
2.了解第一型曲線積分和第二型曲線積分的概念，會利用第一型曲線積分求線狀構件的質量;
3.了解第一型曲面積分和第二型曲面積分的概念，會利用第一型曲面積分求曲面狀構件的質量。
本章復習重點：
l 重點掌握二重積分和三重積分的幾何意義;
l 掌握第一型曲線積分的計算;
l 掌握第一型曲面積分的計算。
第10章 第二型曲線積分與第二型曲面積分、向量場
考試內容：
第二型曲線積分的概念及性質;格林公式、平面曲線積分與路徑無關的條件、保守場;第二型曲面積分的概念及性質;高斯公式、通量與散度;斯托克斯公式、環量與旋度。
考試要求：
1.了解第二型曲線積分的概念及性質，會利用第二型曲線積分求質點在變力作用下沿曲線作功;
2.掌握格林公式，理解曲線積分與路徑無關的四個等價命題;
3.了解第二型曲面積分的概念及性質;
4.掌握高斯公式，會利用高斯公式求第二型曲面積分;
5.了解斯托克斯公式，會求向量函數的散度和旋度。
本章復習重點：
l 熟練掌握格林公式并能利用格林公式計算曲線積分;
l 熟練掌握曲線積分與路徑無關的四個等價命題;
l 掌握高斯公式并能利用高斯公式計算曲面積分。
第11章 無窮級數
考試內容：
常數項級數的收斂與發散的概念;收斂級數和的概念;級數的基本性質與收斂的必要條件;幾何級數與p級數及其收斂性;正項級數收斂性的判別法;任意項級數的絕對收斂與條件收斂;交錯項級數與萊布尼茨定理;函數列與函數項級數一致收斂的概念;一致收斂函數列與函數項級數的性質;冪級數的概念及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域;冪級數的和函數;冪級數在其收斂區間內的基本性質;簡單冪級數的和函數的求法;初等函數的冪級數展開。
考試要求：
1.理解常數項級數的收斂、發散以及收斂級數和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件;
2.掌握幾何級數及p級數的收斂與發散的條件;
3.掌握正項級數收斂的比較判別法、比值判別法、根值判別法;
4.掌握交錯級數收斂的萊布尼茨判別法;
5.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及級數絕對收斂與收斂之間的相互關系。
6.了解函數列與函數項級數一致收斂的概念;
7.了解一致收斂函數列與函數項級數的性質，如連續性、可積性、可微性等。
8.理解冪級數的收斂半徑的概念，并掌握冪級數收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法;
9.了解冪級數在其收斂區間內的基本性質：和函數的連續性、逐項求導和逐項積分等性質;
10.會求一些簡單冪級數在其收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和...
三、考試題型
1. 單項選擇題 (約30分)
2. 計算題 (約100分)
3. 證明題 (約20分)
原標題：2025年初試科目考試大綱
文章來源：https://ge.sues.edu.cn/29/66/c19716a272742/page.htm
