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                                                                        齊魯工業大學

                                                                        當前位置:考研招生在線 > 考研備考  > 考研數學

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                                                                        時間:2020-06-10 09:37:37     作者:考研招生在線
                                                                        摘要：對于考研數學來說，高數部分很重要，要想拿分，須把一些定理記牢。為此，小編整理了“2021考研數學：高數定理牢記(三)”的文章，希望對大家有所幫助。

                                                                        　　中值定理與導數的應用

                                                                        　　1、定理(羅爾定理)

                                                                        　　如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a，b)內至少有一點&xi(a

                                                                        　　2、定理(拉格朗日中值定理)

                                                                        　　如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么在開區間(a，b)內至少有一點&xi(a

                                                                        　　3、定理(柯西中值定理)

                                                                        　　如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F’(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，那么在開區間(a，b)內至少有一點&xi，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(&xi)/F’(&xi)成立。

                                                                        　　4、洛達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、&infin/&infin、0×&infin、&infin-&infin、00、1&infin、&infin0等形式。

                                                                        　　5、函數單調性的判定法

                                                                        　　設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那么：(1)如果在(a，b)內f’(x)>0，那么函數f(x)在[a，b]上單調增加(2)如果在(a，b)內f’(x)

                                                                        　　如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

                                                                        　　6、函數的極值

                                                                        　　如果函數f(x)在區間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。

                                                                        　　在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。

                                                                        　　定理(函數取得極值的要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f’(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。

                                                                        　　定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0，f’’(x0)&ne0那么：(1)當f’’(x0)0時，函數f(x)在x0處取得極小值駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

                                                                        　　7、函數的凹凸性及其判定

                                                                        　　設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

                                                                        　　設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凹的(2)若在(a，b)內f’’(x)

                                                                        　　判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x)(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區間(a，b)內的實根(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

                                                                        　　在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。
                                                                        在線報名申請表
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