《數學分析》科目大綱
(科目代碼：620)
一、考核要求
數學分析是數學與應用數學專業的專業基礎核心課程，是學生學習分析學系列課程及數學專業其它后繼課程的重要基礎，也為高觀點下深入理解中學數學教學內容所必需。數學分析的主要內容有：極限理論、微分學、積分學及級數理論。數學分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數學分析及其它與分析相關的自然學科的始終。數學分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學生對基礎知識的掌握情況，考核學生是否具有嚴密的
邏輯推理能力，考核學生應用所學知識解決某些實際問題的能力。
二、考核評價目標
數學分析重點考核學生對基礎理論知識掌握的情況以及分析解決實際問題的能力。通過考核，選拔出具有較好的數學功底的學生來攻讀數學學科的碩士研究生?？己嗽u價目標應使錄取的研究生具有較扎實與系統的從事基礎數學、應用數學以及計算數學等的進一步學習及科研工作所需的數學分析知識。
三、考核內容
第一章 極限
第一節 實數集與函數
考核不等式、集合、映射、函數、初等函數、領域、上確界、下確界的定義，會進行集合運算和函數的各種表示，能分析函數的有界性、奇偶性、單調性和周期性，熟悉確界原理。
第二節 數列極限
考核數列、數列極限的定義、無窮小數列，收斂數列的性質，數列極限的四則運算，單調數列及單調有界定理，Cauchy列及收斂準則。
第三節 函數極限
考核函數極限的定義、性質、四則運算、與數列極限的關系，單側極限、Cauchy收斂原理，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量及關系。
第四節 連續函數
充分理解并掌握函數極限的定義、連續的定義、函數極限與數列極限的關系、Cauchy收斂原理、一致連續的概念;能應用函數極限、連續以及一致連續的定義進行分析、論證，能用無窮小量對極限進行分析，區別無窮小量能否進行代換的條件，區分不連續點的類型。
第五節 實數基本定理
能綜合應用確界原理，單調有界定理，區間套定理進行分析論證，應用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進行基本證明。
第二章 一元函數微分學
第一節 導數和微分
會應用導數的定義、四則運算法則、反函數的求導法則和復合函數求導法則求導數和高階導數，能綜合應用各種方法求函數的導數。
第二節 微分中值定理及應用
領會微分中值定理、Taylor公式的深刻含義，能用微分中值定理進行分析、論證，能將函數展開成Taylor多項式和其余項之和，能綜合使用
Hospital法則及Taylor公式求函數及數列的極限。能綜合應用函數的凸性、單調性(利用導數)及中值定理分析和解決問題。
第三章 一元函數積分學
第一節 積分的計算、性質及應用
能綜合應用各種方法(包括定義、基本公式、線性性質、換元積分法、分部積分法)，計算出一般函數的積分;重點掌握定積分的概念，Darboux和概念等;熟練掌握可積的充要條件，可積函數類，定積分的性質，微積分基本定理，掌握求面積、弧長、體積和側面積的方法，了解微元法及其應用。
第二節 反常積分
掌握反常積分斂散性的定義，奇點，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關系，掌握一些重要的反常積分收斂和發散的例子，理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負函數反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應用積分第二中值定理。
