《實變函數論》 考試大綱

(科目代碼：526)

一、 考核要求

實變函數是數學與應用數學的專業課之一。通過本課程的學習，使學生掌握實變函數的基本理論、基本知識與基本方法，為以后進一步的深入學習其它學科打下堅實的基礎。本課程的具體要求有：掌握集合論的基本理論;初步掌握和了解測度論的基本知識;熟練掌握可測函數的基本概念和基本性質，掌握Lebesgue 積分的理論和方法。

二、 考核內容

第一章 集合

1、知識點

集合的概念和運算，對等與基數，可數集合，不可數集合，半序集和曹恩引理。

2、考核要求

1)掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算;

2)熟練掌握集合的對等的定義與性質;能熟練應用伯恩斯坦(Bernstein)定理證明集合的對等關系;

3)理解基數的定義;掌握可數集與不可數集的性質，會判斷給定的集合是否可數。

第二章 點集

1、知識點

度量空間(n維歐氏空間)，聚點、內點和界點，開集、閉集、完備集及其構造。

2、考核要求

1) 理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質，有界點集的定義和n維區間的體積;

2) 熟練掌握n維區間點的關系，聚點、內點和界點的定義聚點與等價條件;

3) 掌握開核、邊界和導集的概念和性質極其相互關系;

4) 理解和掌握開集、閉集和完備集的性質;

5) 理解開集的構成區間與余區間，了解開集、閉集的構造;熟練掌握康托爾集的構成和性質。

第三章 測度論

1、知識點

約當測度，Lebesgue 外測度和內測度，可測集。

2、考核要求

1)測度的定義和性質;

2)掌握Lebesgue 外測度和內測度的定義和基本性質;

3)練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質;

4)掌握零測集的性質;開集、閉集的可測性;

5)約當測度與Lebesgue測度的關系;

6)解特殊的兩類集合，波雷耳集。

第四章 可測函數

1、知識點

可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂。

2、考核要求

1)熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念;

2)理解葉果洛夫定理;

3)理解并掌握魯津定理及其逆定理;

4)熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理。

第五章 積分論

1、知識點

Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理。

2、考核要求

1)了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷;

2)理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件;可積的四則運算，勒貝格積分與Riemann積分的關系;

3)熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性 ;

4)熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質;

5)牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。

三、參考書目

1.《實變函數與泛函分析》，程其襄，張奠宙，胡善文等編， 第3版，高等教育出版社，2010.6.

2.《實變函數論》,周民強 編著，北京大學出版社，2001.7.