數學綜合考試(近世代數、泛函分析、常微分方程、解析幾何)科目大綱
(科目代碼：945)
一、考核要求
近世代數、泛函分析、常微分方程、解析幾何是數學與應用數學專業的核心課程，是數學專業研究生進行碩士階段知識學習的重要基礎，也為高觀點下深入理解中學數學教學內容所必需。本門考試包含四門課程：近世代數、泛函分析、常微分方程、解析幾何，總分為100分，其 中近世代數和泛函分析分別占20分到25分，解析幾何及常微分方程分別占25到30分。
二、考核評價目標
數學綜合考試主要考察考生對數學與應用數學專業核心課程的基本理論和基本方法的掌握情況，以及分析解決實際問題的的能力。
三、考核內容
《近世代數》
第一章 基本概念
考試要點：
掌握一些基本概念：代數運算、結合律、交換律、分配律、同態與同構、等價關系與集合分類的定義;理解結合律、交換律、分配律的作用以及同態滿射保持結合律、交換律、分配律這些數學事實;熟練應用等價關系與集合分類可以相互決定這一結論。
考試內容：
第一節 代數運算與算律
主要講授代數運算的定義及例子，結合律及其性質，交換律及其性質，分配律及其性質等。
第二節 同態與同構
主要介紹兩個帶有代數運算的集合之間的保持代數運算的映射、滿射及雙射以及它們各自的性質。
第三節 等價關系與集合分類
主要介紹等價關系與集合分類這兩個概念以及等價關系與集合分類這二者之間的關系。
考核要求：
要讓學生識記代數運算、結合律、交換律、分配律、同態與同構、等價關系與集合分類的定義;領會結合律、交換律、分配律的作用;領會同態滿射保持結合律、交換律、分配律，等價關系與集合分類可以相互決定這些數學事實。
第二章 群論
考試要點：
掌握有關群的一些基本概念：群、變換群、置換群、循環群、子群、陪集、不變子群、商群;判斷群、子群、不變子群、商群的方法;理解群論的一些重要結論：Cayley 定理、Lagrange定理、群的同態基本定理。
考試內容：
第一節 群的定義與基本性質
介紹群的兩種定義的等價性。對有限群給出第三種定義。介紹群的消去律、以及群中的元的階的性質。介紹群的同態。
第二節 變換群
介紹變換的概念;給出變換群的定義;介紹一個集合的最大變換群、最小變換群;介紹Cayley定理。
第三節 置換群
介紹n次對稱群Sn的概念;介紹Sn中的每個置換都可以表成互相沒有共同數字的循環置換的乘積這一重要結論。
第四節 循環群
介紹循環群及其生成元的概念;介紹與循環群的存在問題、數量問題、結構問題有關的結論。
第五節 子群
介紹子群的定義以及判斷方法、群的子集生成的子群的特點。
第六節 子群的陪集
定義左同余關系以及右同余關系;確定這兩個同余關系的等價類，得出一個群G的子群H在G中的左、右陪集的數目相等這一重要結論。介紹Lagrange定理。
